Математический анализ Примеры

$(x^{2} - 5 x + 2) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} - 5 x + 2$ и $g (x) = 5 x^{3} - x^{2} + 5$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - x^{2} + 5] + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 x^{3} - x^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Этап 2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $5$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Этап 2.8

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x + 0) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Этап 2.9

Добавим $15 x^{2} - 2 x$ и $0$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Этап 2.10

По правилу суммы производная $x^{2} - 5 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 2.12

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 2.14

Умножим $- 5$ на $1$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 2.15

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5 + 0)$

Этап 2.16

Добавим $2 x - 5$ и $0$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $1$ из $(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $1$ из $(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x)$ .

$1 ((x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x)) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $1$ из $(5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$ .

$1 ((x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x)) + 1 ((5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5))$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $1$ из $1 ((x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x)) + 1 ((5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5))$ .

$1 ((x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5))$

Этап 3.2

Умножим $(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$ на $1$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$(15 x^{2} - 2 x) (x^{2} - 5 x + 2) + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $(15 x^{2} - 2 x) (x^{2} - 5 x + 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$15 x^{2} x^{2} + 15 x^{2} (- 5 x) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$15 (x^{2} x^{2}) + 15 x^{2} (- 5 x) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$15 x^{2 + 2} + 15 x^{2} (- 5 x) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.2.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$15 x^{4} + 15 x^{2} (- 5 x) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 x^{2} x + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.2.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Перенесем $x$ .

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 (x \cdot x^{2}) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.2.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 (x^{1} x^{2}) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 x^{1 + 2} + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.2.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.2.4

Умножим $15$ на $- 5$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.2.5

Умножим $2$ на $15$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.2.6

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.2.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.2.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.2.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 5 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.2.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.8.1

Перенесем $x$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 5 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.2.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 5 x^{2} - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.2.9

Умножим $- 2$ на $- 5$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} + 10 x^{2} - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.2.10

Умножим $2$ на $- 2$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} + 10 x^{2} - 4 x + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.3

Вычтем $2 x^{3}$ из $- 75 x^{3}$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 30 x^{2} + 10 x^{2} - 4 x + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.4

Добавим $30 x^{2}$ и $10 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 3.4.5

Развернем $(2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 x (5 x^{3}) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Этап 3.4.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 x \cdot x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Этап 3.4.6.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 (x^{3} x) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Этап 3.4.6.2.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 (x^{3} x^{1}) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Этап 3.4.6.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 x^{3 + 1} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Этап 3.4.6.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 x^{4} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Этап 3.4.6.3

Умножим $2$ на $5$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Этап 3.4.6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Этап 3.4.6.5

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Этап 3.4.6.5.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Этап 3.4.6.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Этап 3.4.6.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Этап 3.4.6.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Этап 3.4.6.7

Умножим $5$ на $2$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Этап 3.4.6.8

Умножим $5$ на $- 5$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 25 x^{3} - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Этап 3.4.6.9

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 25 x^{3} + 5 x^{2} - 5 \cdot 5$

Этап 3.4.6.10

Умножим $- 5$ на $5$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 25 x^{3} + 5 x^{2} - 25$

Этап 3.4.7

Вычтем $25 x^{3}$ из $- 2 x^{3}$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 27 x^{3} + 10 x + 5 x^{2} - 25$

Этап 3.5

Добавим $15 x^{4}$ и $10 x^{4}$ .

$25 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x - 27 x^{3} + 10 x + 5 x^{2} - 25$

Этап 3.6

Вычтем $27 x^{3}$ из $- 77 x^{3}$ .

$25 x^{4} - 104 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x + 5 x^{2} - 25$

Этап 3.7

Добавим $40 x^{2}$ и $5 x^{2}$ .

$25 x^{4} - 104 x^{3} + 45 x^{2} - 4 x + 10 x - 25$

Этап 3.8

Добавим $- 4 x$ и $10 x$ .

$25 x^{4} - 104 x^{3} + 45 x^{2} + 6 x - 25$