Математический анализ Примеры

$\sqrt[3]{t^{2}} + 2 \sqrt{t^{3}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sqrt[3]{t^{2}} + 2 \sqrt{t^{3}}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{t^{2}}$ в виде $t^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} t^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Этап 2.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t^{3}}$ в виде $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}]$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t^{\frac{3}{2}}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1})$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}})$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}})$

Этап 3.8

Объединим $\frac{3}{2}$ и $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.9

Объединим $2$ и $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 3.10

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{6 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.11

Вынесем множитель $2$ из $6 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 3.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Этап 3.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Этап 3.12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{1}$

Этап 3.12.4

Разделим $3 t^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{3}}} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 t^{\frac{1}{3}}} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3 t^{\frac{1}{3}}}$