Математический анализ Примеры

$(x + 8) (\frac{24}{x} + 12)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 8$ и $g (x) = \frac{24}{x} + 12$ .

$(x + 8) \frac{d}{d x} [\frac{24}{x} + 12] + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{24}{x} + 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$(x + 8) (\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Этап 2.2

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{24}{x}$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$(x + 8) (24 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Этап 2.5

Умножим $- 1$ на $24$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Этап 2.6

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + 0) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Этап 2.7

Добавим $- 24 x^{- 2}$ и $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 2.10

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + 0)$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \cdot 1$

Этап 2.11.2

Умножим $\frac{24}{x} + 12$ на $1$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + \frac{24}{x} + 12$

Этап 3

Чтобы записать $(x + 8) (- 24 x^{- 2})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x}{x} + \frac{24}{x} + 12$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x + 24}{x} + 12$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 (x^{1} x^{- 2})) + 24}{x} + 12$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{1 - 2}) + 24}{x} + 12$

Этап 7

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 1}) + 24}{x} + 12$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (- 24 \frac{1}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Этап 8.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $- 24$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{- 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Этап 8.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x (- \frac{24}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Этап 8.3.3

Объединим $x$ и $\frac{24}{x}$ .

$\frac{- \frac{x \cdot 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Этап 8.3.4

Перенесем $24$ влево от $x$ .

$\frac{- \frac{24 \cdot x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Этап 8.3.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{24 x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Этап 8.3.5.2

Разделим $24$ на $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Этап 8.3.6

Умножим $- 1$ на $24$ .

$\frac{- 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Этап 8.3.7

Объединим $- 24$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 24 + 8 \frac{- 24}{x} + 24}{x} + 12$

Этап 8.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- 24 + 8 (- \frac{24}{x}) + 24}{x} + 12$

Этап 8.3.9

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{- 24 - 8 \frac{24}{x} + 24}{x} + 12$

Этап 8.3.10

Объединим $- 8$ и $\frac{24}{x}$ .

$\frac{- 24 + \frac{- 8 \cdot 24}{x} + 24}{x} + 12$

Этап 8.3.11

Умножим $- 8$ на $24$ .

$\frac{- 24 + \frac{- 192}{x} + 24}{x} + 12$

Этап 8.3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- 24 - \frac{192}{x} + 24}{x} + 12$

Этап 8.3.13

Добавим $- 24$ и $24$ .

$\frac{- \frac{192}{x} + 0}{x} + 12$

Этап 8.3.14

Добавим $- \frac{192}{x}$ и $0$ .

$\frac{- \frac{192}{x}}{x} + 12$

Этап 8.3.15

Перепишем $\frac{- \frac{192}{x}}{x}$ в виде произведения.

$- \frac{192}{x} \cdot \frac{1}{x} + 12$

Этап 8.3.16

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{192}{x}$ .

$- \frac{192}{x \cdot x} + 12$

Этап 8.3.17

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{192}{x^{1} x} + 12$

Этап 8.3.18

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{192}{x^{1} x^{1}} + 12$

Этап 8.3.19

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{192}{x^{1 + 1}} + 12$

Этап 8.3.20

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{192}{x^{2}} + 12$