Математический анализ Примеры

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ и $g (x) = e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}] - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 2

По правилу суммы производная $e^{x} - e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{- x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 6.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 6.2.2

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \cdot 1) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 6.4

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x}) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 7

Возведем $e^{x} + e^{- x}$ в степень $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{1} (e^{x} + e^{- x}) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 8

Возведем $e^{x} + e^{- x}$ в степень $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{1} {(e^{x} + e^{- x})}^{1} - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{1 + 1} - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 10.2

По правилу суммы производная $e^{x} + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 11

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 12

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 12.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 12.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 13

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 13.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 13.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 13.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 13.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 14

Возведем $e^{x} - e^{- x}$ в степень $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - ({(e^{x} - e^{- x})}^{1} (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 15

Возведем $e^{x} - e^{- x}$ в степень $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - ({(e^{x} - e^{- x})}^{1} {(e^{x} - e^{- x})}^{1})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{1 + 1}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 17

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = e^{x} + e^{- x}$ и $b = e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x} + e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Добавим $e^{x}$ и $e^{x}$ .

$\frac{(2 e^{x} + e^{- x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.2.2

Вычтем $e^{- x}$ из $e^{- x}$ .

$\frac{(2 e^{x} + 0) (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.2.3

Добавим $2 e^{x}$ и $0$ .

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - e^{x} - - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.2.5

Умножим $- - e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - e^{x} + 1 e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.2.5.2

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - e^{x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.2.6

Вычтем $e^{x}$ из $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} (0 + e^{- x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.2.7

Добавим $0$ и $e^{- x}$ .

$\frac{2 e^{x} (e^{- x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.2.8

Добавим $e^{- x}$ и $e^{- x}$ .

$\frac{2 e^{x} \cdot 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.2.9

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.9.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 e^{x} e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.2.9.2

Умножим $e^{x}$ на $e^{- x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.9.2.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$\frac{4 (e^{- x} e^{x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.2.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 e^{- x + x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.2.9.2.3

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{4 e^{0}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.2.9.3

Упростим $4 e^{0}$ .

$\frac{4}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$