Математический анализ Примеры

$(3 x + 2 \sqrt{x} + \frac{32}{x^{2}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{32}{x^{2}}]$

Этап 2

По правилу суммы производная $3 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{32}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 5

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 10

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 12.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 12.3

Объединим $2$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 12.4

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 12.5

Сократим общий множитель.

$3 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 12.6

Перепишем это выражение.

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 13

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{32}{x^{2}}$ по $x$ равна $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 14

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 14.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Этап 14.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 x^{- 3})$

Этап 16

Умножим $- 2$ на $32$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 64 x^{- 3}$

Этап 17

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Объединим $- 64$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 64}{x^{3}}$

Этап 18.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{64}{x^{3}}$

Этап 18.2

Изменим порядок членов.

$- \frac{64}{x^{3}} + 3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$