Математический анализ Примеры

${(4 x + 4 y)}^{3} = 64 x^{3} + 64 y^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(4 x + 4 y)}^{3}) = \frac{d}{d x} (64 x^{3} + 64 y^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 4 x + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x + 4 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 x + 4 y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 x + 4 y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x + 4 y$ .

$3 {(4 x + 4 y)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x + 4 y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $4 x + 4 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$3 {(4 x + 4 y)}^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4 y])$

Этап 2.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(4 x + 4 y)}^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y])$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(4 x + 4 y)}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y])$

Этап 2.2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$3 {(4 x + 4 y)}^{2} (4 + \frac{d}{d x} [4 y])$

Этап 2.2.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 y$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(4 x + 4 y)}^{2} (4 + 4 \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 {(4 x + 4 y)}^{2} (4 + 4 y')$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 {(4 x + 4 y)}^{2} \cdot 4 + 3 {(4 x + 4 y)}^{2} (4 y')$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $4$ на $3$ .

$12 {(4 x + 4 y)}^{2} + 3 {(4 x + 4 y)}^{2} (4 y')$

Этап 2.4.2.2

Умножим $4$ на $3$ .

$12 {(4 x + 4 y)}^{2} + 12 {(4 x + 4 y)}^{2} y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $64 x^{3} + 64 y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [64 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [64 y^{3}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [64 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $64$ является константой относительно $x$ , производная $64 x^{3}$ по $x$ равна $64 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [64 y^{3}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$64 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [64 y^{3}]$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $64$ .

$192 x^{2} + \frac{d}{d x} [64 y^{3}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [64 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $64$ является константой относительно $x$ , производная $64 y^{3}$ по $x$ равна $64 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$192 x^{2} + 64 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$192 x^{2} + 64 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$192 x^{2} + 64 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$192 x^{2} + 64 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$192 x^{2} + 64 (3 y^{2} y')$

Этап 3.3.4

Умножим $3$ на $64$ .

$192 x^{2} + 192 y^{2} y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$12 {(4 x + 4 y)}^{2} + 12 {(4 x + 4 y)}^{2} y' = 192 x^{2} + 192 y^{2} y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $12 {(4 x + 4 y)}^{2} + 12 {(4 x + 4 y)}^{2} y'$ .

$12 {(4 x + 4 y)}^{2} + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} = 192 x^{2} + 192 y^{2} y'$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $y'$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $192 y^{2} y'$ из обеих частей уравнения.

$12 {(4 x + 4 y)}^{2} + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем ${(4 x + 4 y)}^{2}$ в виде $(4 x + 4 y) (4 x + 4 y)$ .

$12 ((4 x + 4 y) (4 x + 4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.2

Развернем $(4 x + 4 y) (4 x + 4 y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (4 x (4 x + 4 y) + 4 y (4 x + 4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (4 x (4 x) + 4 x (4 y) + 4 y (4 x + 4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (4 x (4 x) + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 (4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$12 (4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$12 (4 \cdot 4 x^{2} + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$12 (16 x^{2} + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 (16 x^{2} + 4 \cdot 4 x y + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.3.1.5

Умножим $4$ на $4$ .

$12 (16 x^{2} + 16 x y + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.3.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 (16 x^{2} + 16 x y + 4 \cdot 4 y x + 4 y (4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.3.1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$12 (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 4 y (4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.3.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 4 \cdot 4 y \cdot y) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.3.1.9

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1.9.1

Перенесем $y$ .

$12 (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 4 \cdot 4 (y \cdot y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.3.1.9.2

Умножим $y$ на $y$ .

$12 (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 4 \cdot 4 y^{2}) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.3.1.10

Умножим $4$ на $4$ .

$12 (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 16 y^{2}) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.3.2

Добавим $16 x y$ и $16 y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.2.1

Перенесем $y$ .

$12 (16 x^{2} + 16 x y + 16 x y + 16 y^{2}) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.3.2.2

Добавим $16 x y$ и $16 x y$ .

$12 (16 x^{2} + 32 x y + 16 y^{2}) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (16 x^{2}) + 12 (32 x y) + 12 (16 y^{2}) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1

Умножим $16$ на $12$ .

$192 x^{2} + 12 (32 x y) + 12 (16 y^{2}) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.5.2

Умножим $32$ на $12$ .

$192 x^{2} + 384 (x y) + 12 (16 y^{2}) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.5.3

Умножим $16$ на $12$ .

$192 x^{2} + 384 (x y) + 192 y^{2} + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.6

Перепишем ${(4 x + 4 y)}^{2}$ в виде $(4 x + 4 y) (4 x + 4 y)$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' ((4 x + 4 y) (4 x + 4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.7

Развернем $(4 x + 4 y) (4 x + 4 y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (4 x (4 x + 4 y) + 4 y (4 x + 4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (4 x (4 x) + 4 x (4 y) + 4 y (4 x + 4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (4 x (4 x) + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.8.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.8.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.8.1.2.1

Перенесем $x$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.8.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (4 \cdot 4 x^{2} + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.8.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.8.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 4 \cdot 4 x y + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.8.1.5

Умножим $4$ на $4$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 16 x y + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.8.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 16 x y + 4 \cdot 4 y x + 4 y (4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.8.1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 4 y (4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.8.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 4 \cdot 4 y \cdot y) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.8.1.9

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.8.1.9.1

Перенесем $y$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 4 \cdot 4 (y \cdot y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.8.1.9.2

Умножим $y$ на $y$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 4 \cdot 4 y^{2}) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.8.1.10

Умножим $4$ на $4$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 16 y^{2}) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.8.2

Добавим $16 x y$ и $16 y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.8.2.1

Перенесем $y$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 16 x y + 16 x y + 16 y^{2}) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.8.2.2

Добавим $16 x y$ и $16 x y$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 32 x y + 16 y^{2}) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.9

Применим свойство дистрибутивности.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2}) + 12 y' (32 x y) + 12 y' (16 y^{2}) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.10.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 \cdot 16 y' x^{2} + 12 y' (32 x y) + 12 y' (16 y^{2}) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.10.2

Умножим $32$ на $12$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 \cdot 16 y' x^{2} + 384 y' (x y) + 12 y' (16 y^{2}) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.10.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 \cdot 16 y' x^{2} + 384 y' (x y) + 12 \cdot 16 y' y^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.11.1

Умножим $12$ на $16$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 192 y' x^{2} + 384 y' (x y) + 12 \cdot 16 y' y^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.2.11.2

Умножим $12$ на $16$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 192 y' x^{2} + 384 y' x y + 192 y' y^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.3

Объединим противоположные члены в $192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 192 y' x^{2} + 384 y' x y + 192 y' y^{2} - 192 y^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Изменим порядок множителей в членах $192 y' y^{2}$ и $- 192 y^{2} y'$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 192 y' x^{2} + 384 y' x y + 192 y^{2} y' - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Этап 5.2.3.2

Вычтем $192 y^{2} y'$ из $192 y^{2} y'$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 192 y' x^{2} + 384 y' x y + 0 = 192 x^{2}$

Этап 5.2.3.3

Добавим $192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 192 y' x^{2} + 384 y' x y$ и $0$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 192 y' x^{2} + 384 y' x y = 192 x^{2}$

Этап 5.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $192 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$384 x y + 192 y^{2} + 192 y' x^{2} + 384 y' x y = 192 x^{2} - 192 x^{2}$

Этап 5.3.2

Вычтем $384 x y$ из обеих частей уравнения.

$192 y^{2} + 192 y' x^{2} + 384 y' x y = 192 x^{2} - 192 x^{2} - 384 x y$

Этап 5.3.3

Вычтем $192 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$192 y' x^{2} + 384 y' x y = 192 x^{2} - 192 x^{2} - 384 x y - 192 y^{2}$

Этап 5.3.4

Вычтем $192 x^{2}$ из $192 x^{2}$ .

$192 y' x^{2} + 384 y' x y = 0 - 384 x y - 192 y^{2}$

Этап 5.3.5

Вычтем $384 x y$ из $0$ .

$192 y' x^{2} + 384 y' x y = - 384 x y - 192 y^{2}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $192 y' x$ из $192 y' x^{2} + 384 y' x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $192 y' x$ из $192 y' x^{2}$ .

$192 y' x \cdot x + 384 y' x y = - 384 x y - 192 y^{2}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $192 y' x$ из $384 y' x y$ .

$192 y' x \cdot x + 192 y' x (2 y) = - 384 x y - 192 y^{2}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $192 y' x$ из $192 y' x \cdot x + 192 y' x (2 y)$ .

$192 y' x (x + 2 y) = - 384 x y - 192 y^{2}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $192 y' x (x + 2 y) = - 384 x y - 192 y^{2}$ на $192 x (x + 2 y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $192 y' x (x + 2 y) = - 384 x y - 192 y^{2}$ на $192 x (x + 2 y)$ .

$\frac{192 y' x (x + 2 y)}{192 x (x + 2 y)} = \frac{- 384 x y}{192 x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $192$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{192 y' x (x + 2 y)}{192 x (x + 2 y)} = \frac{- 384 x y}{192 x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' x (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- 384 x y}{192 x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' x (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- 384 x y}{192 x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 384 x y}{192 x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.2.3

Сократим общий множитель $x + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 384 x y}{192 x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 384 x y}{192 x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Сократим общий множитель $- 384$ и $192$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $192$ из $- 384 x y$ .

$y' = \frac{192 (- 2 x y)}{192 x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $192$ из $192 x (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{192 (- 2 x y)}{192 (x (x + 2 y))} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{192 (- 2 x y)}{192 (x (x + 2 y))} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 2 y}{x + 2 y} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.1.4

Сократим общий множитель $- 192$ и $192$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.4.1

Вынесем множитель $192$ из $- 192 y^{2}$ .

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{192 (- y^{2})}{192 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.4.2.1

Вынесем множитель $192$ из $192 x (x + 2 y)$ .

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{192 (- y^{2})}{192 (x (x + 2 y))}$

Этап 5.5.3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{192 (- y^{2})}{192 (x (x + 2 y))}$

Этап 5.5.3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.2

Чтобы записать $- \frac{2 y}{x + 2 y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 2 y) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.3.1

Умножим $\frac{2 y}{x + 2 y}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y x}{(x + 2 y) x} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(x + 2 y) x$ .

$y' = - \frac{2 y x}{x (x + 2 y)} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 y x - y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.5

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y x - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- 2 x) - y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.5.2

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- 2 x) + y (- y)}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.5.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 2 x) + y (- y)$ .

$y' = \frac{y (- 2 x - y)}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (2 x) - y)}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{y (- (2 x) - (y))}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{y (- (2 x + y))}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.9.1

Перепишем $- (2 x + y)$ в виде $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (2 x + y))}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y (2 x + y)}{x (x + 2 y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 x + y)}{x (x + 2 y)}$