Математический анализ Примеры

$\frac{1}{\sqrt{x^{9}}}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x^{9}}}]$ в виде $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} \sqrt{x}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{9}$ в виде ${(x^{4})}^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем $x^{8}$ за скобки.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x^{8} x}}]$

Этап 1.1.2

Перепишем $x^{8}$ в виде ${(x^{4})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{{(x^{4})}^{2} x}}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} \sqrt{x}}]$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 3

Умножим $x^{4}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4 + \frac{1}{2}}}]$

Этап 3.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Этап 3.3

Объединим $4$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4 \cdot 2 + 1}{2}}}]$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{8 + 1}{2}}}]$

Этап 3.5.2

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}}]$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{9}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{9}{2}})}^{- 1}]$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{9}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2} \cdot - 1}]$

Этап 4.2.2

Умножим $\frac{9}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Объединим $\frac{9}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9 \cdot - 1}{2}}]$

Этап 4.2.2.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 9}{2}}]$

Этап 4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{9}{2}}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2} x^{- \frac{9}{2} - 1}$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{2} x^{- \frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{2} x^{- \frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{9}{2} x^{\frac{- 9 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{9}{2} x^{\frac{- 9 - 2}{2}}$

Этап 9.2

Вычтем $2$ из $- 9$ .

$- \frac{9}{2} x^{\frac{- 11}{2}}$

Этап 10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{2} x^{- \frac{11}{2}}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{11}{2}}}$

Этап 11.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{\frac{11}{2}}}$ на $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{x^{\frac{11}{2}} \cdot 2}$

Этап 11.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{11}{2}}$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{11}{2}}}$