Математический анализ Примеры

$y = \ln (9 x^{3} - x^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 9 x^{3} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 x^{3} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 x^{3} - x^{2}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - x^{2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 x^{3} - x^{2}$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $9 x^{3} - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{3}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} - (2 x))$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} - 2 x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} - 2 x)$ .

$(27 x^{2} - 2 x) \frac{1}{9 x^{3} - x^{2}}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $9 x^{3} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $9 x^{3}$ .

$(27 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (9 x) - x^{2}}$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$(27 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$(27 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (9 x - 1)}$

Этап 3.3

Умножим $27 x^{2} - 2 x$ на $\frac{1}{x^{2} (9 x - 1)}$ .

$\frac{27 x^{2} - 2 x}{x^{2} (9 x - 1)}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $x$ из $27 x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $x$ из $27 x^{2}$ .

$\frac{x (27 x) - 2 x}{x^{2} (9 x - 1)}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$\frac{x (27 x) + x \cdot - 2}{x^{2} (9 x - 1)}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x (27 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (27 x - 2)}{x^{2} (9 x - 1)}$

Этап 3.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (9 x - 1)$ .

$\frac{x (27 x - 2)}{x (x (9 x - 1))}$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (27 x - 2)}{x (x (9 x - 1))}$

Этап 3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{27 x - 2}{x (9 x - 1)}$