Математический анализ Примеры

$y = \frac{\ln (x)}{x^{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Этап 2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{x^{2}}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.2.2.5

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x^{2} - \ln (x) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 4.4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 \ln (x) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} - 3 \ln (x) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - 3 \ln (x) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 4.4.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 \ln (x) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 3 \ln (x))}{x^{6}}$

Этап 4.4.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 3 \ln (x))$ .

$\frac{x^{2} (1 - 3 \ln (x))}{x^{6}}$

Этап 5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (1 - 3 \ln (x))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (1 - 3 \ln (x))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - 3 \ln (x)}{x^{4}}$

Этап 6

Упростим $- 3 \ln (x)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{1 - \ln (x^{3})}{x^{4}}$