Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{x} \ln (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3

Объединим $e^{x}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x}$

Этап 5

Изменим порядок членов.

$e^{x} \ln (x) + \frac{e^{x}}{x}$