Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 49} \frac{7 - \sqrt{x}}{49 x - x^{2}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 49} 7 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 49} 49 x - x^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $49$ .

$\frac{lim_{x \to 49} 7 - lim_{x \to 49} \sqrt{x}}{lim_{x \to 49} 49 x - x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $49$ .

$\frac{7 - lim_{x \to 49} \sqrt{x}}{lim_{x \to 49} 49 x - x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{7 - \sqrt{lim_{x \to 49} x}}{lim_{x \to 49} 49 x - x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $49$ для $x$ .

$\frac{7 - \sqrt{49}}{lim_{x \to 49} 49 x - x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{7 - \sqrt{7^{2}}}{lim_{x \to 49} 49 x - x^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{7 - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 49} 49 x - x^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{7 - 7}{lim_{x \to 49} 49 x - x^{2}}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $7$ из $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 49} 49 x - x^{2}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $49$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 49} 49 x - lim_{x \to 49} x^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем член $49$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{49 lim_{x \to 49} x - lim_{x \to 49} x^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{49 lim_{x \to 49} x - {(lim_{x \to 49} x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $49$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $49$ для $x$ .

$\frac{0}{49 \cdot 49 - {(lim_{x \to 49} x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $49$ для $x$ .

$\frac{0}{49 \cdot 49 - 49^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.1

Умножим $49$ на $49$ .

$\frac{0}{2401 - 49^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.2

Возведем $49$ в степень $2$ .

$\frac{0}{2401 - 1 \cdot 2401}$

Этап 1.1.3.5.1.3

Умножим $- 1$ на $2401$ .

$\frac{0}{2401 - 2401}$

Этап 1.1.3.5.2

Вычтем $2401$ из $2401$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 49} \frac{7 - \sqrt{x}}{49 x - x^{2}} = lim_{x \to 49} \frac{\frac{d}{d x} [7 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{d}{d x} [7 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $7 - \sqrt{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 49} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 49} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Этап 1.3.5

Вычтем $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ из $0$ .

$lim_{x \to 49} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $49 x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [49 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 49} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [49 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [49 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $49$ является константой относительно $x$ , производная $49 x$ по $x$ равна $49 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 49} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{49 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{49 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $49$ на $1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{49 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 49} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{49 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 49} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{49 - (2 x)}$

Этап 1.3.8.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{49 - 2 x}$

Этап 1.3.9

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 49} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- 2 x + 49}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 49} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2 x + 49}$

Этап 1.5

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 49} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{- 2 x + 49}$

Этап 1.6

Умножим $\frac{1}{- 2 x + 49}$ на $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 49} - \frac{1}{(- 2 x + 49) (2 \sqrt{x})}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 49} \frac{1}{(- 2 x + 49) (2 \sqrt{x})}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 49} \frac{1}{(- 2 x + 49) (\sqrt{x})}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $49$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 49} 1}{lim_{x \to 49} (- 2 x + 49) (\sqrt{x})}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $49$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 49} (- 2 x + 49) (\sqrt{x})}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $49$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 49} - 2 x + 49 \cdot lim_{x \to 49} \sqrt{x}}$

Этап 2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $49$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- lim_{x \to 49} 2 x + lim_{x \to 49} 49) \cdot lim_{x \to 49} \sqrt{x}}$

Этап 2.7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 lim_{x \to 49} x + lim_{x \to 49} 49) \cdot lim_{x \to 49} \sqrt{x}}$

Этап 2.8

Найдем предел $49$ , который является константой по мере приближения $x$ к $49$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 lim_{x \to 49} x + 49) \cdot lim_{x \to 49} \sqrt{x}}$

Этап 2.9

Внесем предел под знак радикала.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 lim_{x \to 49} x + 49) \cdot \sqrt{lim_{x \to 49} x}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $49$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $49$ для $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 \cdot 49 + 49) \cdot \sqrt{lim_{x \to 49} x}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $49$ для $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 \cdot 49 + 49) \cdot \sqrt{49}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 2$ на $49$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 98 + 49) \sqrt{49}}$

Этап 4.1.2

Добавим $- 98$ и $49$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 49 \sqrt{49}}$

Этап 4.1.3

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 49 \sqrt{7^{2}}}$

Этап 4.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 49 \cdot 7}$

Этап 4.2

Умножим $- 49$ на $7$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 343}$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{343})$

Этап 4.4

Умножим $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{343})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{343}$

Этап 4.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{343}$

Этап 4.4.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{343}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 343}$

Этап 4.4.4

Умножим $2$ на $343$ .

$\frac{1}{686}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{686}$

Десятичная форма:

$0.00145772 \dots$