Математический анализ Примеры

$(x - 1) {(x^{2} - 2 x + 5)}^{5}$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} - 2 x + 5$ . Тогда $d u = (2 x - 2) d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = (x - 1) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} - 2 x + 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} - 2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 5]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$2 x - 2$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{5} \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим $u^{5}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{5}}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int u^{5} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{5}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{1}{2} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ в виде $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 6} u^{6} + C$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{1}{12} u^{6} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 2 x + 5$ .

$\frac{1}{12} {(x^{2} - 2 x + 5)}^{6} + C$