Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл cos(x)^5 по x
Этап 1
Вынесем за скобки.
Этап 2
Упростим с помощью разложения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2
Перепишем в виде степенного выражения.
Этап 3
Используя формулы Пифагора, запишем в виде .
Этап 4
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.1
Дифференцируем .
Этап 4.1.2
Производная по равна .
Этап 4.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 5
Развернем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Перепишем в виде .
Этап 5.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.5
Перенесем .
Этап 5.6
Перенесем .
Этап 5.7
Умножим на .
Этап 5.8
Умножим на .
Этап 5.9
Умножим на .
Этап 5.10
Умножим на .
Этап 5.11
Умножим на .
Этап 5.12
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.13
Добавим и .
Этап 5.14
Вычтем из .
Этап 5.15
Изменим порядок и .
Этап 5.16
Перенесем .
Этап 6
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 7
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 8
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 9
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 10
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 11
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Объединим и .
Этап 11.2
Упростим.
Этап 12
Заменим все вхождения на .
Этап 13
Изменим порядок членов.