Математический анализ Примеры

$\int x^{4} \sin (x^{5}) d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{5}$ . Тогда $d u = 5 x^{4} d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{5}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sin (u) \frac{1}{5} d u$

Этап 2

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\sin (u)}{5} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \int \sin (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{5} (- \cos (u) + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

$\frac{1}{5} (- \cos (u)) + C$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\cos (u)$ .

$- \frac{\cos (u)}{5} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{5}$ .

$- \frac{\cos (x^{5})}{5} + C$

Этап 7

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{5} \cos (x^{5}) + C$