Математический анализ Примеры

$x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3} = 8$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (8)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2} y$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.5

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} y'$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) + 3 y^{2} y'$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 y x + 3 y^{2} y'$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y'$

Этап 3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.1.2

Вычтем $6 x y$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 x^{2} y' + 3 y^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 x^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y' y^{2} = - 3 x^{2} - 6 x y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y' x^{2} + 3 y' y^{2}$ .

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ на $3 (x^{2} + y^{2})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ на $3 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6 x y$ .

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 5.3.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 5.3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- x) - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x y$ .

$y' = \frac{x (- x) + x (- 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 5.3.3.2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- x) + x (- 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- x - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y' = \frac{x (- (x) - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 5.3.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y$ .

$y' = \frac{x (- (x) - (2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 5.3.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{x (- (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 5.3.3.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.6.1

Перепишем $- (x + 2 y)$ в виде $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 5.3.3.2.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 7

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем числитель к нулю.

$x (x + 2 y) = 0$

Этап 7.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 y = 0$

Этап 7.2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 7.2.3

Приравняем $x + 2 y$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Приравняем $x + 2 y$ к $0$ .

$x + 2 y = 0$

Этап 7.2.3.2

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2 y$

Этап 7.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 2 y) = 0$ верно.

$x = 0$

$x = - 2 y$

$x = 0$

$x = - 2 y$

$x = 0$

$x = - 2 y$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим $0^{3} + 3 \cdot (0^{2} y) + y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 3 \cdot (0^{2} y) + y^{3} = 8$

Этап 8.1.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 3 \cdot (0 y) + y^{3} = 8$

Этап 8.1.1.3

Умножим $0$ на $y$ .

$0 + 3 \cdot 0 + y^{3} = 8$

Этап 8.1.1.4

Умножим $3$ на $0$ .

$0 + 0 + y^{3} = 8$

Этап 8.1.2

Объединим противоположные члены в $0 + 0 + y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + y^{3} = 8$

Этап 8.1.2.2

Добавим $0$ и $y^{3}$ .

$y^{3} = 8$

Этап 8.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$y^{3} - 8 = 0$

Этап 8.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$y^{3} - 2^{3} = 0$

Этап 8.3.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = y$ и $b = 2$ .

$(y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Этап 8.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 2^{2}) = 0$

Этап 8.3.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

Этап 8.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 2 = 0$

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

Этап 8.5

Приравняем $y - 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Приравняем $y - 2$ к $0$ .

$y - 2 = 0$

Этап 8.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2$

Этап 8.6

Приравняем $y^{2} + 2 y + 4$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Приравняем $y^{2} + 2 y + 4$ к $0$ .

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

Этап 8.6.2

Решим $y^{2} + 2 y + 4 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 8.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.3.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.3.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.3.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 8.6.2.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 8.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.4.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.4.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.4.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 8.6.2.4.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 8.6.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = - 1 + i \sqrt{3}$

Этап 8.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.5.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.5.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.5.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 8.6.2.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 8.6.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 8.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 8.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$ верно.

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим ${(- 2 y)}^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Применим правило умножения к $- 2 y$ .

${(- 2)}^{3} y^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3} = 8$

Этап 9.1.1.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 y^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3} = 8$

Этап 9.1.1.3

Применим правило умножения к $- 2 y$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{2}) y + y^{3} = 8$

Этап 9.1.1.4

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.4.1

Перенесем $y$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} (y \cdot y^{2})) + y^{3} = 8$

Этап 9.1.1.4.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.4.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} (y^{1} y^{2})) + y^{3} = 8$

Этап 9.1.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{1 + 2}) + y^{3} = 8$

Этап 9.1.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{3}) + y^{3} = 8$

Этап 9.1.1.5

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 8 y^{3} + 3 (4 y^{3}) + y^{3} = 8$

Этап 9.1.1.6

Умножим $4$ на $3$ .

$- 8 y^{3} + 12 y^{3} + y^{3} = 8$

Этап 9.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Добавим $- 8 y^{3}$ и $12 y^{3}$ .

$4 y^{3} + y^{3} = 8$

Этап 9.1.2.2

Добавим $4 y^{3}$ и $y^{3}$ .

$5 y^{3} = 8$

Этап 9.2

Разделим каждый член $5 y^{3} = 8$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $5 y^{3} = 8$ на $5$ .

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{8}{5}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{8}{5}$

Этап 9.2.2.1.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{8}{5}$

Этап 9.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{8}{5}}$

Этап 9.4

Упростим $\sqrt[3]{\frac{8}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{8}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}$

Этап 9.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2^{3}}}{\sqrt[3]{5}}$

Этап 9.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$y = \frac{2}{\sqrt[3]{5}}$

Этап 9.4.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt[3]{5}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Этап 9.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt[3]{5}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Этап 9.4.4.2

Возведем $\sqrt[3]{5}$ в степень $1$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Этап 9.4.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Этап 9.4.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Этап 9.4.4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{5}$ в виде $5^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 9.4.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 9.4.4.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Этап 9.4.4.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Этап 9.4.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Этап 9.4.4.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Этап 9.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Этап 9.4.5.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{25}}{5}$

Этап 10

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 2)$

$(0, - 1 + i \sqrt{3})$

$(0, - 1 - i \sqrt{3})$

$(- 2 y, \frac{2 \sqrt[3]{25}}{5})$

Этап 11