Математический анализ Примеры

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $3 x^{2} - 6 x$ и $0$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 6 x = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $3 x$ из $- 6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$3 x (x - 2) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 3.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 x (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ в точке $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Этап 4.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ в точке $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = 8 - 3 {(2)}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 8 - 3 \cdot 4 + 1$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f (2) = 8 - 12 + 1$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $12$ из $8$ .

$f (2) = - 4 + 1$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f (2) = - 3$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 6

Горизонтальные касательные функции $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ ― $y = 1, y = - 3$ .

$y = 1, y = - 3$

Этап 7