Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{π} x \sin (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \cos (x) d x$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x (- \cos (x))]_{0}^{π} - - \int_{0}^{π} \cos (x) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{π} + 1 \int_{0}^{π} \cos (x) d x$

Этап 3.2

Умножим $\int_{0}^{π} \cos (x) d x$ на $1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \cos (x) d x$

Этап 4

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{π} + \sin (x)]_{0}^{π}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $x (- \cos (x))]_{0}^{π}$ и $\sin (x)]_{0}^{π}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{π}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ в $π$ и в $0$ .

$(π (- \cos (π)) + \sin (π)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$π (- \cos (π)) + \sin (π) - (0 \cos (0) + \sin (0))$

Этап 5.2.2.2

Умножим $0$ на $\cos (0)$ .

$π (- \cos (π)) + \sin (π) - (0 + \sin (0))$

Этап 5.2.2.3

Добавим $0$ и $\sin (0)$ .

$π (- \cos (π)) + \sin (π) - \sin (0)$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$π (- \cos (π)) + \sin (π) - 0$

Этап 5.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$π (- \cos (π)) + \sin (π) + 0$

Этап 5.3.3

Добавим $π (- \cos (π)) + \sin (π)$ и $0$ .

$π (- \cos (π)) + \sin (π)$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$π (- - \cos (0)) + \sin (π)$

Этап 5.4.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$π (- (- 1 \cdot 1)) + \sin (π)$

Этап 5.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$π (- - 1) + \sin (π)$

Этап 5.4.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$π \cdot 1 + \sin (π)$

Этап 5.4.5

Умножим $π$ на $1$ .

$π + \sin (π)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$π + \sin (0)$

Этап 6.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$π + 0$

Этап 6.2

Добавим $π$ и $0$ .

$π$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$π$

Десятичная форма:

$3.14159265 \dots$