Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.
Этап 1.1.1
Разложим дробь на множители.
Этап 1.1.1.1
Перепишем в виде .
Этап 1.1.1.2
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 1.1.2
Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место .
Этап 1.1.3
Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место .
Этап 1.1.4
Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен .
Этап 1.1.5
Сократим общий множитель .
Этап 1.1.5.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.5.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.1.6
Сократим общий множитель .
Этап 1.1.6.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.6.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.1.7
Упростим каждый член.
Этап 1.1.7.1
Сократим общий множитель .
Этап 1.1.7.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.7.1.2
Разделим на .
Этап 1.1.7.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.7.3
Перенесем влево от .
Этап 1.1.7.4
Перепишем в виде .
Этап 1.1.7.5
Сократим общий множитель .
Этап 1.1.7.5.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.7.5.2
Разделим на .
Этап 1.1.7.6
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.7.7
Умножим на .
Этап 1.1.8
Перенесем .
Этап 1.2
Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.
Этап 1.2.1
Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.
Этап 1.2.2
Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.
Этап 1.2.3
Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.
Этап 1.3
Решим систему уравнений.
Этап 1.3.1
Решим относительно в .
Этап 1.3.1.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 1.3.1.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.3.2
Заменим все вхождения на во всех уравнениях.
Этап 1.3.2.1
Заменим все вхождения в на .
Этап 1.3.2.2
Упростим правую часть.
Этап 1.3.2.2.1
Упростим .
Этап 1.3.2.2.1.1
Умножим .
Этап 1.3.2.2.1.1.1
Умножим на .
Этап 1.3.2.2.1.1.2
Умножим на .
Этап 1.3.2.2.1.2
Добавим и .
Этап 1.3.3
Решим относительно в .
Этап 1.3.3.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 1.3.3.2
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 1.3.3.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 1.3.3.2.2
Упростим левую часть.
Этап 1.3.3.2.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 1.3.3.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.3.3.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 1.3.4
Заменим все вхождения на во всех уравнениях.
Этап 1.3.4.1
Заменим все вхождения в на .
Этап 1.3.4.2
Упростим правую часть.
Этап 1.3.4.2.1
Умножим на .
Этап 1.3.5
Перечислим все решения.
Этап 1.4
Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в значениями, найденными для и .
Этап 1.5
Упростим.
Этап 1.5.1
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 1.5.2
Умножим на .
Этап 1.5.3
Перенесем влево от .
Этап 1.5.4
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 1.5.5
Умножим на .
Этап 2
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 3
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 5
Этап 5.1
Пусть . Найдем .
Этап 5.1.1
Дифференцируем .
Этап 5.1.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 5.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 5.1.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 5.1.5
Добавим и .
Этап 5.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 6
Интеграл по имеет вид .
Этап 7
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 8
Этап 8.1
Пусть . Найдем .
Этап 8.1.1
Дифференцируем .
Этап 8.1.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 8.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 8.1.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 8.1.5
Добавим и .
Этап 8.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 9
Интеграл по имеет вид .
Этап 10
Упростим.
Этап 11
Этап 11.1
Заменим все вхождения на .
Этап 11.2
Заменим все вхождения на .