Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{16} \frac{x - 5}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{16} \frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{1}^{16} (x - 5) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{16} (x - 5) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int_{1}^{16} (x - 5) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{16} (x - 5) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4

Развернем $(x - 5) x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{1}^{16} x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{1}^{16} x^{1} x^{- \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1}^{16} x^{1 - \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int_{1}^{16} x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{1}^{16} x^{\frac{2 - 1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{16} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16} + \int_{1}^{16} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16} - 5 \int_{1}^{16} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16} - 5 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{16})$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ в $16$ и в $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{16})$

Этап 9.2

Найдем значение $2 x^{\frac{1}{2}}$ в $16$ и в $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.6

Умножим $2$ на $64$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{128 - 2}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.10

Вычтем $2$ из $128$ .

$\frac{126}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.11

Сократим общий множитель $126$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $126$ .

$\frac{3 \cdot 42}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 42}{3 (1)} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{42}{1} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.11.2.4

Разделим $42$ на $1$ .

$42 - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.12

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$42 - 5 (2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.13

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$42 - 5 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.14

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.14.1

Сократим общий множитель.

$42 - 5 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.14.2

Перепишем это выражение.

$42 - 5 (2 \cdot 4^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.15

Найдем экспоненту.

$42 - 5 (2 \cdot 4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.16

Умножим $2$ на $4$ .

$42 - 5 (8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.17

Единица в любой степени равна единице.

$42 - 5 (8 - 2 \cdot 1)$

Этап 9.3.18

Умножим $- 2$ на $1$ .

$42 - 5 (8 - 2)$

Этап 9.3.19

Вычтем $2$ из $8$ .

$42 - 5 \cdot 6$

Этап 9.3.20

Умножим $- 5$ на $6$ .

$42 - 30$

Этап 9.3.21

Вычтем $30$ из $42$ .

$12$

Этап 10