Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} x (x - 3) d x$

Этап 1

Умножим $x (x - 3)$ .

$\int_{0}^{2} x \cdot x + x \cdot - 3 d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{2} x^{1} x + x \cdot - 3 d x$

Этап 2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{2} x^{1} x^{1} + x \cdot - 3 d x$

Этап 2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{2} x^{1 + 1} + x \cdot - 3 d x$

Этап 2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{0}^{2} x^{2} + x \cdot - 3 d x$

Этап 2.5

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\int_{0}^{2} x^{2} - 3 x d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} - 3 x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 3 x d x$

Этап 5

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2} - 3 \int_{0}^{2} x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2} - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $2$ и в $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 3 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 3 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 3 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0 - 3 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{8}{3} + 0 (\frac{1}{3}) - 3 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 0 - 3 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.6

Добавим $\frac{8}{3}$ и $0$ .

$\frac{8}{3} - 3 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{8}{3} - 3 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.8

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{8}{3} - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{8}{3} - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{3} - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{3} - 3 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.8.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{8}{3} - 3 (2 - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{8}{3} - 3 (2 - \frac{0}{2})$

Этап 7.2.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{8}{3} - 3 (2 - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 7.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{8}{3} - 3 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{3} - 3 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{3} - 3 (2 - \frac{0}{1})$

Этап 7.2.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{8}{3} - 3 (2 - 0)$

Этап 7.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{8}{3} - 3 (2 + 0)$

Этап 7.2.3.12

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{8}{3} - 3 \cdot 2$

Этап 7.2.3.13

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{8}{3} - 6$

Этап 7.2.3.14

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - 6 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.2.3.15

Объединим $- 6$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 6 \cdot 3}{3}$

Этап 7.2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 - 6 \cdot 3}{3}$

Этап 7.2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.17.1

Умножим $- 6$ на $3$ .

$\frac{8 - 18}{3}$

Этап 7.2.3.17.2

Вычтем $18$ из $8$ .

$\frac{- 10}{3}$

Этап 7.2.3.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{10}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{10}{3}$

Десятичная форма:

$- 3.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$- 3 \frac{1}{3}$

Этап 9