Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3} | x - 1 | d x$

Этап 1

Разобьем интеграл в зависимости от того, где $x - 1$ принимает положительные и отрицательные значения.

$\int_{0}^{1} - x + 1 d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} - x d x + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} - 1 d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 1 d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3} + - x]_{1}^{3}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}$ и $- x]_{1}^{3}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{3}$

Этап 10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$- ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{3}$

Этап 10.2.2

Найдем значение $x$ в $1$ и в $0$ .

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 1 + 0 + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{3}$

Этап 10.2.3

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} - x$ в $3$ и в $1$ .

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$- (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (\frac{1}{2} - 0) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- (\frac{1}{2} + 0) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.5

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$- \frac{1}{2} + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.6

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{1}{2} + 1 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.9

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.10

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 9 - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $9$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.12

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} - 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.13

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.14

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} + \frac{9 - 3 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.16.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9 - 6}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.16.2

Вычтем $6$ из $9$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.17

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.18

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2.4.19

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 1)$

Этап 10.2.4.20

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Этап 10.2.4.21

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Этап 10.2.4.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 10.2.4.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.23.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1 - 2}{2}$

Этап 10.2.4.23.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.4.24

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - - \frac{1}{2}$

Этап 10.2.4.25

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Этап 10.2.4.26

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 10.2.4.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} + \frac{3 + 1}{2}$

Этап 10.2.4.28

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{2}$

Этап 10.2.4.29

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.29.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Этап 10.2.4.29.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.29.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 10.2.4.29.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.4.29.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{1}$

Этап 10.2.4.29.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} + 2$

Этап 10.2.4.30

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 10.2.4.31

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Этап 10.2.4.32

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Этап 10.2.4.33

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.33.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1 + 4}{2}$

Этап 10.2.4.33.2

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{5}{2}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{2}$

Десятичная форма:

$2.5$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{1}{2}$

Этап 12