Математический анализ Примеры

$\int \ln (5 x - 4) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (5 x - 4)$ и $d v = 1$ .

$\ln (5 x - 4) x - \int x \frac{5}{5 x - 4} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $x$ и $\frac{5}{5 x - 4}$ .

$\ln (5 x - 4) x - \int \frac{x \cdot 5}{5 x - 4} d x$

Этап 2.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - \int \frac{5 x}{5 x - 4} d x$

Этап 3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$\ln (5 x - 4) x - (5 \int \frac{x}{5 x - 4} d x)$

Этап 4

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 \int \frac{x}{5 x - 4} d x$

Этап 5

Разделим $x$ на $5 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$5 x$

$4$

$x$

$0$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x$ .

					$\frac{1}{5}$
	$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$\frac{4}{5}$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x - \frac{4}{5}$ .

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{4}{5}$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{4}{5}$
					+	$\frac{4}{5}$

Этап 5.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\ln (5 x - 4) x - 5 \int \frac{1}{5} + \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\int \frac{1}{5} d x + \int \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x)$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \int \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x)$

Этап 8

Поскольку $\frac{4}{5}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{4}{5}$ из-под знака интеграла.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 x - 4} d x)$

Этап 9

Пусть $u = 5 x - 4$ . Тогда $d u = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = 5 x - 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $5 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 4]$

Этап 9.1.2

По правилу суммы производная $5 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 9.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 9.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 9.1.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 9.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 + 0$

Этап 9.1.4.2

Добавим $5$ и $0$ .

$5$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{u \cdot 5} d u)$

Этап 10.2

Перенесем $5$ влево от $u$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 \cdot u} d u)$

Этап 10.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 u} d u)$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5} (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u))$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{4}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5 \cdot 5} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 12.2

Умножим $5$ на $5$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{25} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 13

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{25} (\ln (| u |) + C))$

Этап 14

Упростим.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + \frac{4}{25} \ln (| u |)) + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $5 x - 4$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + \frac{4}{25} \ln (| 5 x - 4 |)) + C$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + \frac{4}{25} \ln (| 5 x - 4 |)) + C$

Этап 16.1.2

Объединим $\frac{4}{25}$ и $\ln (| 5 x - 4 |)$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Этап 16.2

Чтобы записать $\frac{x}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Этап 16.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $25$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Умножим $\frac{x}{5}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Этап 16.3.2

Умножим $5$ на $5$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x \cdot 5}{25} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Этап 16.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (5 x - 4) x - 5 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25} + C$

Этап 16.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\ln (5 x - 4) x + 5 (- 1) \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25} + C$

Этап 16.5.2

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\ln (5 x - 4) x + 5 \cdot - 1 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5 \cdot 5} + C$

Этап 16.5.3

Сократим общий множитель.

$\ln (5 x - 4) x + 5 \cdot - 1 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5 \cdot 5} + C$

Этап 16.5.4

Перепишем это выражение.

$\ln (5 x - 4) x - \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5} + C$

Этап 16.6

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - \frac{5 x + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5} + C$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$\ln (5 x - 4) x - \frac{1}{5} (5 x + 4 \ln (| 5 x - 4 |)) + C$