Математический анализ Примеры

$\int x \cos (2 x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \cos (2 x)$ .

$x (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 x)$ .

$x \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x)$

Этап 4

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 5

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u) d u$

Этап 8

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$

Этап 9

Перепишем $\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$ в виде $\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4} + C$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (2 x)}{4} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} x \sin (2 x) + \frac{1}{4} \cos (2 x) + C$