Математический анализ Примеры

$\int 3 x {(x^{2} - 3)}^{7} d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int x {(x^{2} - 3)}^{7} d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{2} - 3$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{2} - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 \int u^{7} \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $u^{7}$ и $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{u^{7}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{2} \int u^{7} d u)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$\frac{3}{2} \int u^{7} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{7}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\frac{3}{2} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ в виде $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{8}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 8} u^{8} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{3}{16} u^{8} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 3$ .

$\frac{3}{16} {(x^{2} - 3)}^{8} + C$