Математический анализ Примеры

$\int \frac{x + 4}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x + 4}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x + 4) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x + 4) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int (x + 4) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (x + 4) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4

Развернем $(x + 4) x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 - \frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{2 - 1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.7

Изменим порядок $x^{\frac{1}{2}}$ и $4 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 6

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9

Упростим.

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$