Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{2} (x - 8 | x |) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 1}^{2} x - 8 | x | d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} - 8 | x | d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 8 | x | d x$

Этап 4

Поскольку $- 8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 8$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 \int_{- 1}^{2} | x | d x$

Этап 5

Разобьем интеграл в зависимости от того, где $x$ принимает положительные и отрицательные значения.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (\int_{- 1}^{0} - x d x + \int_{0}^{2} x d x)$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- \int_{- 1}^{0} x d x + \int_{0}^{2} x d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{2} x d x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{2} x d x)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2})$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Этап 10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $2$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Этап 10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Этап 10.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{4}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$2 - \frac{1}{2} \cdot 1 - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 - \frac{1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.6

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.7

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.9.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 - 1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.9.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{3}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.11

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.11.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{3}{2} - 8 (- (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.12

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{3}{2} - 8 (- (0 - \frac{1}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.13

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $0$ .

$\frac{3}{2} - 8 (- - \frac{1}{2} + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.14

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3}{2} - 8 (1 (\frac{1}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.15

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.16

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.17

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.17.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.17.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.17.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.17.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.18

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{0}{2})$

Этап 10.2.4.19

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.19.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 10.2.4.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.19.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 10.2.4.19.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 10.2.4.19.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{0}{1})$

Этап 10.2.4.19.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - 0)$

Этап 10.2.4.20

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 + 0)$

Этап 10.2.4.21

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2)$

Этап 10.2.4.22

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})$

Этап 10.2.4.23

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})$

Этап 10.2.4.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2} - 8 \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Этап 10.2.4.25

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.25.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3}{2} - 8 \frac{1 + 4}{2}$

Этап 10.2.4.25.2

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{5}{2})$

Этап 10.2.4.26

Объединим $- 8$ и $\frac{5}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 8 \cdot 5}{2}$

Этап 10.2.4.27

Умножим $- 8$ на $5$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 40}{2}$

Этап 10.2.4.28

Сократим общий множитель $- 40$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.28.1

Вынесем множитель $2$ из $- 40$ .

$\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot - 20}{2}$

Этап 10.2.4.28.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.28.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot - 20}{2 (1)}$

Этап 10.2.4.28.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot - 20}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.4.28.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} + \frac{- 20}{1}$

Этап 10.2.4.28.2.4

Разделим $- 20$ на $1$ .

$\frac{3}{2} - 20$

Этап 10.2.4.29

Чтобы записать $- 20$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 10.2.4.30

Объединим $- 20$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2}$

Этап 10.2.4.31

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - 20 \cdot 2}{2}$

Этап 10.2.4.32

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.32.1

Умножим $- 20$ на $2$ .

$\frac{3 - 40}{2}$

Этап 10.2.4.32.2

Вычтем $40$ из $3$ .

$\frac{- 37}{2}$

Этап 10.2.4.33

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{37}{2}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{37}{2}$

Десятичная форма:

$- 18.5$

Форма смешанных чисел:

$- 18 \frac{1}{2}$

Этап 12