Математический анализ Примеры

$\int \tan^{3} (x) \sec (x) d x$

Этап 1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\int \tan^{3} (x) \sec^{1} (x) d x$

Этап 2

Вынесем $\tan^{2} (x)$ за скобки.

$\int \tan^{2} (x) \tan (x) \sec^{1} (x) d x$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (x)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) \sec^{1} (x) d x$

Этап 4

Упростим.

$\int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) \sec (x) d x$

Этап 5

Пусть $u = \sec (x)$ . Тогда $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = \sec (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 5.1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 9

Упростим.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$- \sec (x) + \frac{1}{3} \sec^{3} (x) + C$