Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 + \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- d u = \sin (x) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Этап 1.1.4

Вычтем $\sin (x)$ из $0$ .

$- \sin (x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C)$

Этап 5

Упростим.

$- \ln (| u |) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $1 + \cos (x)$ .

$- \ln (| 1 + \cos (x) |) + C$