Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{5} \sqrt{x^{2} + 25} d x$

Этап 1

Пусть $x = 5 \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 5 \sec^{2} (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $5 \sec^{2} (t)$ положительно.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{{(5 \tan (t))}^{2} + 25} (5 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2} + 25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $5 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{5^{2} \tan^{2} (t) + 25} (5 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{25 \tan^{2} (t) + 25} (5 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $25$ из $25 \tan^{2} (t) + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $25$ из $25 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{25 (\tan^{2} (t)) + 25} (5 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{25 (\tan^{2} (t)) + 25 (1)} (5 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $25$ из $25 (\tan^{2} (t)) + 25 (1)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{25 (\tan^{2} (t) + 1)} (5 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.3

Применим формулу Пифагора.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{25 \sec^{2} (t)} (5 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.4

Перепишем $25 \sec^{2} (t)$ в виде ${(5 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{{(5 \sec (t))}^{2}} (5 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 5 \sec (t) (5 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 25 \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.2.2

Умножим $\sec (t)$ на $\sec^{2} (t)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перенесем $\sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 25 (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\sec^{2} (t)$ на $\sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 25 (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Этап 2.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 25 {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Этап 2.2.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 25 \sec^{3} (t) d t$

Этап 3

Поскольку $25$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $25$ из-под знака интеграла.

$25 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{3} (t) d t$

Этап 4

Применим формулу приведения.

$25 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t) d t)$

Этап 5

Интеграл $\sec (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$25 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$25 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}}{2})$

Этап 6.2

Чтобы записать $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$25 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}}{2})$

Этап 6.3

Объединим $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$25 (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}}{2})$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$25 \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}}{2}$

Этап 6.5

Перенесем $2$ влево от $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$25 \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}}{2}$

Этап 6.6

Объединим $25$ и $\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}}{2}$ .

$\frac{25 (2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})}{2}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ в $\frac{π}{4}$ и в $0$ .

$\frac{25 (2 ((\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2}) - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})}{2}$

Этап 7.2

Найдем значение $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ в $\frac{π}{4}$ и в $0$ .

$\frac{25 (2 ((\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2}) - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2}) + (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))}{2}$

Этап 7.3

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{25 (2 (\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2}) + \ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))}{2}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1 \sec (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2}) + \ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))}{2}$

Этап 8.2

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2}) + \ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))}{2}$

Этап 8.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \sec (0)}{2}) + \ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))}{2}$

Этап 8.4

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))}{2}$

Этап 8.5

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))}{2}$

Этап 8.6

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))}{2}$

Этап 8.7

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |))}{2}$

Этап 8.8

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Этап 8.9

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $1$ .

$\frac{25 (2 (\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Этап 8.10

Перепишем $\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{2}$ в виде произведения.

$\frac{25 (2 (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Этап 8.11

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25 (2 (\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Этап 8.12

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{2}$ .

$\frac{25 (2 (\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Этап 8.13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.13.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25 (2 (\frac{2}{2 \sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Этап 8.13.2

Перепишем это выражение.

$\frac{25 (2 (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Этап 8.14

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Этап 8.15

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.15.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 (0)}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Этап 8.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Этап 8.15.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{25 (2 (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Этап 8.15.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{25 (2 (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0}{1}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Этап 8.15.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1}{\sqrt{2}} - 0) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Этап 8.16

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1}{\sqrt{2}} + 0) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Этап 8.17

Добавим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $0$ .

$\frac{25 (2 \frac{1}{\sqrt{2}} + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Этап 8.18

Объединим $2$ и $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{25 (\frac{2}{\sqrt{2}} + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Этап 8.19

Чтобы записать $\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{25 (\frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Этап 8.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{25 (\frac{2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Этап 8.21

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{25 (\frac{2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \ln (| 1 |))}{2}$

Этап 8.22

Чтобы записать $- \ln (| 1 |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{25 (\frac{2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \ln (| 1 |) \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}{2}$

Этап 8.23

Объединим $- \ln (| 1 |)$ и $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{25 (\frac{2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{- \ln (| 1 |) \sqrt{2}}{\sqrt{2}})}{2}$

Этап 8.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{25 \frac{2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{2}$

Этап 8.25

Объединим $25$ и $\frac{2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{\sqrt{2}}}{2}$

Этап 8.26

Перепишем $\frac{\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{\sqrt{2}}}{2}$ в виде произведения.

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 8.27

Умножим $\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{\sqrt{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{\sqrt{2} \cdot 2}$

Этап 8.28

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{2}$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.1.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.1.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.1.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.1.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.1.3.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \sqrt{2} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.2

$\sqrt{2} + 1$ приблизительно равно $2.41421356$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{25 (2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{25 (2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2} - \ln (1) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{25 (2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2} - 0 \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{25 (2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2} + 0 \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.6

Умножим $0$ на $\sqrt{2}$ .

$\frac{25 (2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2} + 0)}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.7

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{25 (\ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2} + 2)}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{25 (\ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2}) + 25 \cdot 2}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.9

Умножим $25$ на $2$ .

$\frac{25 \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2} + 50}{2 \sqrt{2}}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{25 \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2} + 50}{2 \sqrt{2}}$

Десятичная форма:

$28.69483936 \dots$

Этап 11