Математический анализ Примеры

$\int \frac{z}{e^{z}} d z$

Этап 1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{z}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int z {(e^{z})}^{- 1} d z$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{z})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int z e^{z \cdot - 1} d z$

Этап 1.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $z$ .

$\int z e^{- 1 \cdot z} d z$

Этап 1.2.3

Перепишем $- 1 z$ в виде $- z$ .

$\int z e^{- z} d z$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = z$ и $d v = e^{- z}$ .

$z (- e^{- z}) - \int - e^{- z} d z$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$z (- e^{- z}) - - \int e^{- z} d z$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$z (- e^{- z}) + 1 \int e^{- z} d z$

Этап 4.2

Умножим $\int e^{- z} d z$ на $1$ .

$z (- e^{- z}) + \int e^{- z} d z$

Этап 5

Пусть $u = - z$ . Тогда $d u = - d z$ , следовательно $- d u = d z$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = - z$ . Найдем $\frac{d u}{d z}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $- z$ .

$\frac{d}{d z} [- z]$

Этап 5.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $z$ , производная $- z$ по $z$ равна $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$- \frac{d}{d z} [z]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$z (- e^{- z}) + \int - e^{u} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$z (- e^{- z}) - \int e^{u} d u$

Этап 7

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$z (- e^{- z}) - (e^{u} + C)$

Этап 8

Перепишем $z (- e^{- z}) - (e^{u} + C)$ в виде $- z e^{- z} - e^{u} + C$ .

$- z e^{- z} - e^{u} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $- z$ .

$- z e^{- z} - e^{- z} + C$