Математический анализ Примеры

$\int \arctan (2 t) d t$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \arctan (2 t)$ и $d v = 1$ .

$\arctan (2 t) t - \int t \frac{2}{4 t^{2} + 1} d t$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $t$ и $\frac{2}{4 t^{2} + 1}$ .

$\arctan (2 t) t - \int \frac{t \cdot 2}{4 t^{2} + 1} d t$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $t$ .

$\arctan (2 t) t - \int \frac{2 t}{4 t^{2} + 1} d t$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\arctan (2 t) t - (2 \int \frac{t}{4 t^{2} + 1} d t)$

Этап 4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\arctan (2 t) t - 2 \int \frac{t}{4 t^{2} + 1} d t$

Этап 5

Пусть $u = 4 t^{2} + 1$ . Тогда $d u = 8 t d t$ , следовательно $\frac{1}{8} d u = t d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 4 t^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $4 t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{2} + 1]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $4 t^{2} + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [4 t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4 t^{2}$ по $t$ равна $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 t + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$8 t + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $8 t$ и $0$ .

$8 t$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\arctan (2 t) t - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{8}$ .

$\arctan (2 t) t - 2 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Этап 6.2

Перенесем $8$ влево от $u$ .

$\arctan (2 t) t - 2 \int \frac{1}{8 u} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$\arctan (2 t) t - 2 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $- 2$ .

$\arctan (2 t) t + \frac{- 2}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\arctan (2 t) t + \frac{2 (- 1)}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\arctan (2 t) t + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\arctan (2 t) t + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\arctan (2 t) t + \frac{- 1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 8.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\arctan (2 t) t - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\arctan (2 t) t - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Этап 10

Упростим.

$\arctan (2 t) t - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $4 t^{2} + 1$ .

$\arctan (2 t) t - \frac{1}{4} \ln (| 4 t^{2} + 1 |) + C$