Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{4 - x^{2}} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{2^{2} - x^{2}}$

Этап 1.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{2 + x}$

Этап 1.1.3

$\frac{A}{2 + x} + \frac{B}{2 - x}$

Этап 1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{1 (2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $2 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (2 - x)}{2 - x} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 1.1.6

Сократим общий множитель $2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (2 - x)}{2 - x} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 1.1.6.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель $2 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 1.1.7.1.2

Разделим $(A) (2 - x)$ на $1$ .

$1 = (A) (2 - x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 1.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 2 + A (- x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 1.1.7.3

Перенесем $2$ влево от $A$ .

$1 = 2 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 1.1.7.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 2 \cdot A - A x + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 1.1.7.5

Сократим общий множитель $2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = 2 A - A x + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Этап 1.1.7.5.2

Разделим $(B) (2 + x)$ на $1$ .

$1 = 2 A - A x + (B) (2 + x)$

Этап 1.1.7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 2 A - A x + B \cdot 2 + B x$

Этап 1.1.7.7

Перенесем $2$ влево от $B$ .

$1 = 2 A - A x + 2 B + B x$

Этап 1.1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Перенесем $A$ .

$1 = 2 A - x A + 2 B + B x$

Этап 1.1.8.2

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$1 = 2 A - x A + 2 B + B x$

Этап 1.1.8.3

Перенесем $2 B$ .

$1 = 2 A - x A + B x + 2 B$

Этап 1.1.8.4

Перенесем $2 A$ .

$1 = - x A + B x + 2 A + 2 B$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 A + B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 2 A + 2 B$

Этап 1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A + 2 B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A + 2 B$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $B$ в $0 = - 1 A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 A + B = 0$ .

$- 1 A + B = 0$

$1 = 2 A + 2 B$

Этап 1.3.1.2

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$- A + B = 0$

$1 = 2 A + 2 B$

Этап 1.3.1.3

Добавим $A$ к обеим частям уравнения.

$B = A$

$1 = 2 A + 2 B$

$B = A$

$1 = 2 A + 2 B$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $B$ на $A$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $1 = 2 A + 2 B$ на $A$ .

$1 = 2 A + 2 (A)$

$B = A$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Добавим $2 A$ и $2 A$ .

$1 = 4 A$

$B = A$

$1 = 4 A$

$B = A$

$1 = 4 A$

$B = A$

Этап 1.3.3

Решим относительно $A$ в $1 = 4 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$B = A$

Этап 1.3.3.2

Разделим каждый член $4 A = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Разделим каждый член $4 A = 1$ на $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = A$

Этап 1.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = A$

Этап 1.3.3.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{1}{4}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Заменим все вхождения $A$ в $B = A$ на $\frac{1}{4}$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Этап 1.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Избавимся от скобок.

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Этап 1.3.5

Перечислим все решения.

$B = \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{2 + x} + \frac{B}{2 - x}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{2 + x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 + x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{2 + x}$ .

$\frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Этап 1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 - x}$

Этап 1.5.4

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{2 - x}$ .

$\int \frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{4 (2 + x)} d x + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 + x} d x + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Этап 4

Пусть $u_{1} = 2 + x$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{1} = 2 + x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $2 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 4.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 - x} d x$

Этап 7

Пусть $u_{2} = 2 - x$ . Тогда $d u_{2} = - d x$ , следовательно $- d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{2} = 2 - x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 7.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{4} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Этап 11.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} + C$

Этап 12

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 + x$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + x |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} + C$

Этап 12.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 - x$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + x |) - \frac{\ln (| 2 - x |)}{4} + C$

Этап 13

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + x |) - \frac{1}{4} \ln (| 2 - x |) + C$