Математический анализ Примеры

Этап 1
Найдем первую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.1.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 1.1.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.2
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.2.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.2.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.4
Умножим на .
Этап 1.2.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.2.6
Добавим и .
Этап 1.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Изменим порядок множителей в .
Этап 1.3.2
Изменим порядок множителей в .
Этап 2
Найдем вторую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.3.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 2.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.4
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.4.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.4.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.4.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.4.4
Умножим на .
Этап 2.4.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.4.6
Добавим и .
Этап 2.5
Возведем в степень .
Этап 2.6
Возведем в степень .
Этап 2.7
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.8
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.8.1
Добавим и .
Этап 2.8.2
Перенесем влево от .
Этап 2.9
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.10
Умножим на .
Этап 2.11
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.11.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.11.2
Умножим на .
Этап 2.11.3
Изменим порядок членов.
Этап 2.11.4
Изменим порядок множителей в .
Этап 3
Найдем третью производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.2
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.2.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3.2.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.2.3.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 3.2.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.2.4
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.2.5
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.2.6
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.2.7
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.2.8
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.2.9
Умножим на .
Этап 3.2.10
Добавим и .
Этап 3.2.11
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.11.1
Перенесем .
Этап 3.2.11.2
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.11.2.1
Возведем в степень .
Этап 3.2.11.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.2.11.3
Добавим и .
Этап 3.2.12
Перенесем влево от .
Этап 3.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.3.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.3.2.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 3.3.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.3.3
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.3.4
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.3.5
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.3.6
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.3.7
Умножим на .
Этап 3.3.8
Добавим и .
Этап 3.3.9
Умножим на .
Этап 3.4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.4.2
Объединим термины.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.2.1
Умножим на .
Этап 3.4.2.2
Умножим на .
Этап 3.4.2.3
Добавим и .
Этап 3.4.3
Изменим порядок членов.
Этап 3.4.4
Изменим порядок множителей в .
Этап 4
Найдем четвертую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.2
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.2.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.2.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 4.2.3.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 4.2.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 4.2.4
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.2.5
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.2.6
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.2.7
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.2.8
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.2.9
Умножим на .
Этап 4.2.10
Добавим и .
Этап 4.2.11
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.11.1
Перенесем .
Этап 4.2.11.2
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.11.2.1
Возведем в степень .
Этап 4.2.11.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.2.11.3
Добавим и .
Этап 4.2.12
Перенесем влево от .
Этап 4.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.3.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.3.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 4.3.3.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 4.3.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 4.3.4
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.3.5
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.3.6
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.3.7
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.3.8
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.3.9
Умножим на .
Этап 4.3.10
Добавим и .
Этап 4.3.11
Возведем в степень .
Этап 4.3.12
Возведем в степень .
Этап 4.3.13
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.3.14
Добавим и .
Этап 4.3.15
Перенесем влево от .
Этап 4.3.16
Умножим на .
Этап 4.4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.4.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.4.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.4.3
Объединим термины.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.4.3.1
Умножим на .
Этап 4.4.3.2
Умножим на .
Этап 4.4.3.3
Умножим на .
Этап 4.4.3.4
Добавим и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.4.3.4.1
Перенесем .
Этап 4.4.3.4.2
Добавим и .
Этап 4.4.4
Изменим порядок членов.
Этап 4.4.5
Изменим порядок множителей в .
Этап 5
Четвертая производная по равна .