Математический анализ Примеры

Trovare la 2nd Derivata f(x) = square root of x^2+11
Этап 1
Найдем первую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
С помощью запишем в виде .
Этап 1.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.4
Объединим и .
Этап 1.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.6
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.1
Умножим на .
Этап 1.6.2
Вычтем из .
Этап 1.7
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.7.2
Объединим и .
Этап 1.7.3
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.8
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.9
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.10
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.11
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.11.1
Добавим и .
Этап 1.11.2
Объединим и .
Этап 1.11.3
Объединим и .
Этап 1.11.4
Сократим общий множитель.
Этап 1.11.5
Перепишем это выражение.
Этап 2
Найдем вторую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.2
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.2.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.2.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.3
Упростим.
Этап 2.4
Продифференцируем, используя правило степени.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.4.1
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.4.2
Умножим на .
Этап 2.5
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.5.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.5.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.5.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.6
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.7
Объединим и .
Этап 2.8
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.9
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.9.1
Умножим на .
Этап 2.9.2
Вычтем из .
Этап 2.10
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.10.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.10.2
Объединим и .
Этап 2.10.3
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 2.10.4
Объединим и .
Этап 2.11
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.12
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.13
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.14
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.14.1
Добавим и .
Этап 2.14.2
Умножим на .
Этап 2.14.3
Объединим и .
Этап 2.14.4
Объединим и .
Этап 2.15
Возведем в степень .
Этап 2.16
Возведем в степень .
Этап 2.17
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.18
Добавим и .
Этап 2.19
Вынесем множитель из .
Этап 2.20
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.20.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.20.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.20.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.21
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.22
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.23
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.24
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.24.1
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.24.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.24.3
Добавим и .
Этап 2.24.4
Разделим на .
Этап 2.25
Упростим .
Этап 2.26
Вычтем из .
Этап 2.27
Добавим и .
Этап 2.28
Перепишем в виде произведения.
Этап 2.29
Умножим на .
Этап 2.30
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.30.1
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.30.1.1
Возведем в степень .
Этап 2.30.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.30.2
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 2.30.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.30.4
Добавим и .
Этап 3
Найдем третью производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Продифференцируем, используя правило умножения на константу.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.1.2
Применим основные правила для показателей степени.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.2.1
Перепишем в виде .
Этап 3.1.2.2
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.2.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.1.2.2.2
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.2.2.2.1
Объединим и .
Этап 3.1.2.2.2.2
Умножим на .
Этап 3.1.2.2.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 3.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 3.4
Объединим и .
Этап 3.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 3.6
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.6.1
Умножим на .
Этап 3.6.2
Вычтем из .
Этап 3.7
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.7.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 3.7.2
Объединим и .
Этап 3.7.3
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.7.3.1
Перенесем влево от .
Этап 3.7.3.2
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 3.7.3.3
Умножим на .
Этап 3.7.4
Объединим и .
Этап 3.7.5
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.7.5.1
Умножим на .
Этап 3.7.5.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 3.8
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.9
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.10
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.11
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.11.1
Добавим и .
Этап 3.11.2
Умножим на .
Этап 3.11.3
Объединим и .
Этап 3.11.4
Умножим на .
Этап 3.11.5
Объединим и .
Этап 3.11.6
Вынесем множитель из .
Этап 3.12
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.12.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.12.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.12.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.13
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4
Найдем четвертую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.2
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.3
Продифференцируем, используя правило степени.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.3.1.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.1.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.3.3
Умножим на .
Этап 4.4
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.4.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 4.4.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.4.3
Заменим все вхождения на .
Этап 4.5
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.6
Объединим и .
Этап 4.7
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.8
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.8.1
Умножим на .
Этап 4.8.2
Вычтем из .
Этап 4.9
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.9.1
Объединим и .
Этап 4.9.2
Объединим и .
Этап 4.10
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.11
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.12
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.13
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.13.1
Добавим и .
Этап 4.13.2
Умножим на .
Этап 4.13.3
Объединим и .
Этап 4.13.4
Умножим на .
Этап 4.13.5
Объединим и .
Этап 4.14
Возведем в степень .
Этап 4.15
Возведем в степень .
Этап 4.16
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.17
Добавим и .
Этап 4.18
Вынесем множитель из .
Этап 4.19
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.19.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.19.2
Сократим общий множитель.
Этап 4.19.3
Перепишем это выражение.
Этап 4.19.4
Разделим на .
Этап 4.20
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.20.1
Перенесем .
Этап 4.20.2
Вынесем множитель из .
Этап 4.20.3
Вынесем множитель из .
Этап 4.20.4
Вынесем множитель из .
Этап 4.21
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.21.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.21.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.22
Упростим.
Этап 4.23
Вычтем из .
Этап 4.24
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 4.25
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.25.1
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.25.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.25.3
Объединим и .
Этап 4.25.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.25.5
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.25.5.1
Умножим на .
Этап 4.25.5.2
Вычтем из .
Этап 4.26
Объединим и .
Этап 4.27
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.28
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.28.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.28.2
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.28.2.1
Умножим на .
Этап 4.28.2.2
Умножим на .
Этап 4.28.3
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.28.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.28.3.2
Вынесем множитель из .
Этап 4.28.3.3
Вынесем множитель из .
Этап 4.28.4
Вынесем множитель из .
Этап 4.28.5
Перепишем в виде .
Этап 4.28.6
Вынесем множитель из .
Этап 4.28.7
Перепишем в виде .
Этап 4.28.8
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.28.9
Умножим на .
Этап 4.28.10
Умножим на .
Этап 5
Четвертая производная по равна .