Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} 2 x e^{x} d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{1} x e^{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$2 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

Этап 3

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $x e^{x}$ в $1$ и в $0$ .

$2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Этап 4.2

Найдем значение $e^{x}$ в $1$ и в $0$ .

$2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим.

$2 (1 e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 4.3.2

Умножим $e$ на $1$ .

$2 (e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 4.3.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$2 (e + 0 \cdot 1 - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 4.3.4

Умножим $0$ на $1$ .

$2 (e + 0 - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 4.3.5

Добавим $e$ и $0$ .

$2 (e - ((e^{1}) - e^{0}))$

Этап 4.3.6

Упростим.

$2 (e - (e - e^{0}))$

Этап 4.3.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$2 (e - (e - 1 \cdot 1))$

Этап 4.3.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 (e - (e - 1))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (e - e - - 1)$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (e - e + 1)$

Этап 5.2

Вычтем $e$ из $e$ .

$2 (0 + 1)$

Этап 5.3

Добавим $0$ и $1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 5.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 6