Математический анализ Примеры

$- \frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = - 1$ и $g (t) = \frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ в виде ${({(3 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d t} [{({(3 + t)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${({(3 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d t} [{(3 + t)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{d}{d t} [{(3 + t)}^{- 2}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 2}$ и $g (t) = 3 + t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 + t$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 + t$ .

$- (- 2 {(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 ({(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $3 + t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 4.3

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 4.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [t]$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 4.6

Умножим $2$ на $1$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 4.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \cdot 0$

Этап 4.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Умножим $\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ на $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} + 0$

Этап 4.8.2

Добавим $2 {(3 + t)}^{- 3}$ и $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(3 + t)}^{3}}$

Этап 5.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{{(3 + t)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(3 + t)}^{3}}$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{{(t + 3)}^{3}}$