Математический анализ Примеры

$e^{\frac{x}{y}} = x - y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{y}}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \frac{x}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{y}$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 2.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Этап 2.5

Объединим $e^{\frac{x}{y}}$ и $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 - y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} = 1 - y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 - y') y^{2}$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 - y') y^{2}$

Этап 5.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{x}{y}} (y - x y') = (1 - y') y^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{\frac{x}{y}} y + e^{\frac{x}{y}} (- x y') = (1 - y') y^{2}$

Этап 5.2.1.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y') = (1 - y') y^{2}$

Этап 5.2.1.1.3.2

Изменим порядок множителей в $e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y')$ .

$y e^{\frac{x}{y}} - x y' e^{\frac{x}{y}} = (1 - y') y^{2}$

Этап 5.2.1.1.3.3

Перенесем $x$ .

$y e^{\frac{x}{y}} - y' x e^{\frac{x}{y}} = (1 - y') y^{2}$

Этап 5.2.1.1.3.4

Изменим порядок $y e^{\frac{x}{y}}$ и $- y' x e^{\frac{x}{y}}$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = (1 - y') y^{2}$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $(1 - y') y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = 1 y^{2} - y' y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = y^{2} - y' y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.2

Изменим порядок $y^{2}$ и $- y' y^{2}$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = - y' y^{2} + y^{2}$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Добавим $y' y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2} = y^{2}$

Этап 5.3.2

Вычтем $y e^{\frac{x}{y}}$ из обеих частей уравнения.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2} = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $- y' x e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $- y' x e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $y' y^{2}$ .

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2})$ .

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Этап 5.3.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Этап 5.3.5

Разделим каждый член $y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ на $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Разделим каждый член $y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ на $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ .

$\frac{y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Этап 5.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Сократим общий множитель $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Этап 5.3.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Этап 5.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Этап 5.3.5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y - y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Этап 5.3.5.3.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- y e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 1 e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Этап 5.3.5.3.2.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y + y (- 1 e^{\frac{x}{y}})$ .

$y' = \frac{y (y - 1 e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Этап 5.3.5.3.2.2

Перепишем $- 1 e^{\frac{x}{y}}$ в виде $- e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Этап 5.3.5.3.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}}) + y^{2}}$

Этап 5.3.5.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}}) - 1 (- y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x e^{\frac{x}{y}}) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.3.4

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.3.4.1

Перепишем $- (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})$ в виде $- 1 (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- 1 (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{x e^{\frac{x}{y}} - y^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{x e^{\frac{x}{y}} - y^{2}}$