Математический анализ Примеры

$2 x y + y^{2} = x + y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (2 x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x y + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 (x y' + y) + 2 y y'$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x y') + 2 y + 2 y y'$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 + y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y = 1 + y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $y'$ из обеих частей уравнения.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y - y' = 1$

Этап 5.2

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$2 x y' + 2 y y' - y' = 1 - 2 y$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $2 x y' + 2 y y' - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $2 x y'$ .

$y' (2 x) + 2 y y' - y' = 1 - 2 y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y'$ .

$y' (2 x) + y' (2 y) - y' = 1 - 2 y$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (2 x) + y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 y$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 x) + y' (2 y)$ .

$y' (2 x + 2 y) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 y$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 x + 2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$ на $2 x + 2 y - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$ на $2 x + 2 y - 1$ .

$\frac{y' (2 x + 2 y - 1)}{2 x + 2 y - 1} = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $2 x + 2 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 x + 2 y - 1)}{2 x + 2 y - 1} = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{1 - 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{2 x + 2 y - 1}$