Математический анализ Примеры

$x \sqrt{3 x + 1}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x + 1}$ в виде ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x + 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(3 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(3 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.3

Перенесем ${(3 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 1] + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9

По правилу суммы производная $3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 12

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 13

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 14.2

Объединим $\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $3$ .

$\frac{x \cdot 3}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 14.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{3 \cdot x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 16

Умножим ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 17

Чтобы записать ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18

Объединим ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20

Умножим ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Перенесем ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21

Упростим ${(3 x + 1)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{3 x + (3 x + 1) \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22

Перенесем $2$ влево от $3 x + 1$ .

$\frac{3 x + 2 \cdot (3 x + 1)}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x + 2 (3 x) + 2 \cdot 1}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3 x + 6 x + 2 \cdot 1}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{3 x + 6 x + 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2.2

Добавим $3 x$ и $6 x$ .

$\frac{9 x + 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$