Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{3} + x + 4}{2 x}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{3} + x + 4}{2 x}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + x + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + x + 4}{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3} + x + 4$ и $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + x + 4] - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{3} + x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1 + 0) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.5

Добавим $3 x^{2} + 1$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 3.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4)}{x^{2}}$

Этап 3.7.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4)}{2 x^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - (x^{3} + x + 4)}{2 x^{2}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Этап 4.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Этап 4.3.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Этап 4.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Этап 4.3.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 4}{2 x^{2}}$

Этап 4.3.2

Объединим противоположные члены в $3 x^{3} + x - x^{3} - x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} + 0 - 4}{2 x^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Добавим $3 x^{3} - x^{3}$ и $0$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 4}{2 x^{2}}$

Этап 4.3.3

Вычтем $x^{3}$ из $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 4}{2 x^{2}}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $2 x^{3} - 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{3}) - 4}{2 x^{2}}$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 (x^{3}) + 2 \cdot - 2}{2 x^{2}}$

Этап 4.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3}) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (x^{3} - 2)}{2 x^{2}}$

Этап 4.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{3} - 2)}{2 (x^{2})}$

Этап 4.4.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x^{3} - 2)}{2 x^{2}}$

Этап 4.4.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3} - 2}{x^{2}}$