Математический анализ Примеры

$x (x^{2} - \frac{1}{x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}] + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - \frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

$x (2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$x (2 x - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x (2 x - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (2 x + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.2

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$x (2 x + x^{- 2} + 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.5.2

Добавим $2 x + x^{- 2}$ и $0$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \cdot 1$

Этап 4.7

Умножим $x^{2} - \frac{1}{x}$ на $1$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + x^{2} - \frac{1}{x}$

Этап 5

Чтобы записать $x (2 x + x^{- 2})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x}{x} - \frac{1}{x}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x - 1}{x}$

Этап 7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Этап 8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Этап 9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Этап 10

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + \frac{1}{x^{2}}) - 1}{x}$

Этап 11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Этап 11.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Этап 11.3.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Этап 11.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Этап 11.3.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{2} + \frac{x^{3} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Этап 11.3.2

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot x^{3} + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Этап 11.3.3

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

Этап 11.3.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

Этап 11.3.4.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 1 - 1}{x}$

Этап 11.3.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 0}{x}$

Этап 11.3.6

Добавим $2 x^{3}$ и $0$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3}}{x}$

Этап 11.3.7

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.7.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{3}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x}$

Этап 11.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}}$

Этап 11.3.7.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Этап 11.3.7.2.3

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Этап 11.3.7.2.4

Перепишем это выражение.

$x^{2} + \frac{2 x^{2}}{1}$

Этап 11.3.7.2.5

Разделим $2 x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + 2 x^{2}$

Этап 11.3.8

Добавим $x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$3 x^{2}$