Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} - 6 x + 2}{2 x}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2} - 6 x + 2}{2 x}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 6 x + 2}{x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 6 x + 2}{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 6 x + 2$ и $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 2] - (x^{2} - 6 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 6 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 6 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 6 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 6 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 6 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.5

Умножим $- 6$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 6 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x - 6 + 0) - (x^{2} - 6 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.7

Добавим $2 x - 6$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 2) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 3.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{2}}$

Этап 3.9.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{x (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 2)}{2 x^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - (x^{2} - 6 x + 2)}{2 x^{2}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 4.3.1.3

Перенесем $- 6$ влево от $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 \cdot x - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 4.3.1.4

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Этап 4.3.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 6 x - 2}{2 x^{2}}$

Этап 4.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 6 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Добавим $- 6 x$ и $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 0 - 2}{2 x^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Добавим $2 x^{2} - x^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 2}{2 x^{2}}$

Этап 4.3.3

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2}{2 x^{2}}$