Математический анализ Примеры

$\log_{5} (x e^{x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log_{5} (x)$ и $g (x) = x e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Этап 1.2

Производная $\log_{5} (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x e^{x}$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Этап 4.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x} + e^{x})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x}) + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x e^{x} \ln (5)}$ .

$\frac{x}{x e^{x} \ln (5)} e^{x} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Этап 5.2.2

Объединим $\frac{x}{x e^{x} \ln (5)}$ и $e^{x}$ .

$\frac{x e^{x}}{x e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x e^{x}}{x e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Этап 5.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{x}}{e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x}}{e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Этап 5.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Этап 5.2.5

Объединим $\frac{1}{x e^{x} \ln (5)}$ и $e^{x}$ .

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{e^{x}}{x e^{x} \ln (5)}$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{e^{x}}{x e^{x} \ln (5)}$

Этап 5.2.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{1}{x \ln (5)}$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{x \ln (5)} + \frac{1}{\ln (5)}$