Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{e^{x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{e^{x} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 e^{x} x - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 4.1.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x} x - x^{2} e^{x}$ .

$\frac{2 x e^{x} - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

Этап 4.3

Вынесем множитель $e^{x} x$ из $2 e^{x} x - e^{x} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $e^{x} x$ из $2 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} x (2) - e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $e^{x} x$ из $- e^{x} x^{2}$ .

$\frac{e^{x} x (2) + e^{x} x (- x)}{e^{2 x}}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $e^{x} x$ из $e^{x} x (2) + e^{x} x (- x)$ .

$\frac{e^{x} x (2 - x)}{e^{2 x}}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $e^{x}$ и $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{x} x (2 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x}}$

Этап 4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{- x} x (2 - x)}{1}$

Этап 4.4.2.4

Разделим $e^{- x} x (2 - x)$ на $1$ .

$e^{- x} x (2 - x)$

Этап 4.5

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- x} x \cdot 2 + e^{- x} x (- x)$

Этап 4.6

Перенесем $2$ влево от $e^{- x} x$ .

$2 \cdot (e^{- x} x) + e^{- x} x (- x)$

Этап 4.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot (e^{- x} x) - e^{- x} x \cdot x$

Этап 4.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Перенесем $x$ .

$2 e^{- x} x - e^{- x} (x \cdot x)$

Этап 4.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 e^{- x} x - e^{- x} x^{2}$

Этап 4.9

Изменим порядок множителей в $2 e^{- x} x - e^{- x} x^{2}$ .

$2 x e^{- x} - x^{2} e^{- x}$