Математический анализ Примеры

$\frac{(x + 7) x}{x + 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = (x + 7) x$ и $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 7) x] - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 7$ и $g (x) = x$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 7) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 7]) - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 7) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 7]) - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $x + 7$ на $1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 7 + x \frac{d}{d x} [x + 7]) - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{(x + 1) (x + 7 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])) - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 7 + x (1 + \frac{d}{d x} [7])) - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 7 + x (1 + 0)) - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 7 + x \cdot 1) - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 7 + x) - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.6.3

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 7) - (x + 7) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 7) - (x + 7) x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 7) - (x + 7) x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 7) - (x + 7) x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 7) - (x + 7) x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.10.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 7) - (x + 7) x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + 1) (2 x + 7) + (- x - 1 \cdot 7) x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + 1) (2 x + 7) - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Развернем $(x + 1) (2 x + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x + 7) + 1 (2 x + 7) - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 7 + 1 (2 x + 7) - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot 7 - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot 7 - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot 7 - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot 7 - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.1.2.1.3

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 7 - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.1.2.1.4

Умножим $2 x$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 2 x + 1 \cdot 7 - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.1.2.1.5

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 2 x + 7 - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.1.2.2

Добавим $7 x$ и $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 9 x + 7 - x \cdot x - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 9 x + 7 - (x \cdot x) - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 9 x + 7 - x^{2} - 1 \cdot 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.1.4

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{2 x^{2} + 9 x + 7 - x^{2} - 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 9 x + 7 - 7 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.3

Вычтем $7 x$ из $9 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 7}{{(x + 1)}^{2}}$