Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} + 1$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.4.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вычтем $2 x^{2} x$ из $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 \cdot - 1 x + 0 - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.5.1.2

Добавим $2 \cdot - 1 x$ и $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1 x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.5.2.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.5.3

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$- \frac{4 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Этап 3.7.3

Применим правило умножения к $(x + 1) (x - 1)$ .

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$