Математический анализ Примеры

$\frac{3 x - 9}{2 x + 8}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x - 9$ и $g (x) = 2 x + 8$ .

$\frac{(2 x + 8) \frac{d}{d x} [3 x - 9] - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(2 x + 8) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 + 0) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{(2 x + 8) \cdot 3 - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $3$ влево от $2 x + 8$ .

$\frac{3 \cdot (2 x + 8) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $2 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.10

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.11

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 + 0)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) \cdot 2}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.12.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - 2 (3 x - 9)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x - 9)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим противоположные члены в $3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $3 (2 x)$ и $- 2 (3 x)$ .

$\frac{2 \cdot 3 x + 3 \cdot 8 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Вычтем $2 \cdot 3 x$ из $2 \cdot 3 x$ .

$\frac{3 \cdot 8 + 0 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Добавим $3 \cdot 8$ и $0$ .

$\frac{3 \cdot 8 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{24 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 2$ на $- 9$ .

$\frac{24 + 18}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $24$ и $18$ .

$\frac{42}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{42}{{(2 (x) + 8)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{42}{{(2 x + 2 \cdot 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 4$ .

$\frac{42}{{(2 (x + 4))}^{2}}$

Этап 3.4.2

Применим правило умножения к $2 (x + 4)$ .

$\frac{42}{2^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{42}{4 {(x + 4)}^{2}}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $42$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $42$ .

$\frac{2 (21)}{4 {(x + 4)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 {(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (21)}{2 (2 {(x + 4)}^{2})}$

Этап 3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 21}{2 (2 {(x + 4)}^{2})}$

Этап 3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{21}{2 {(x + 4)}^{2}}$