Математический анализ Примеры

$\ln (x^{2} + y^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.3

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 0)$

Этап 2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x)$

Этап 2.4.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2} + y^{2}} x$

Этап 2.4.3

Объединим $\frac{2}{x^{2} + y^{2}}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$