Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - x^{2}}{h}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{h}$

Этап 1.2

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x + h)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{h}$

Этап 1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{h}$

Этап 1.4

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{h}$

Этап 1.5

Найдем предел $x^{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - x^{2}}{h}$

Этап 2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{{(x + 0)}^{2} - x^{2}}{h}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x + 0$ и $b = x$ .

$\frac{(x + 0 + x) (x + 0 - x)}{h}$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{(x + x) (x + 0 - x)}{h}$

Этап 3.1.2.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{2 x (x + 0 - x)}{h}$

Этап 3.1.2.3

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{2 x (x - x)}{h}$

Этап 3.1.2.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{2 x \cdot 0}{h}$

Этап 3.1.2.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{0 x}{h}$

Этап 3.1.2.5.2

Умножим $0$ на $x$ .

$\frac{0}{h}$

Этап 3.2

Разделим $0$ на $h$ .

$0$