Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $25$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{25 - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $25$ из $25$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1}$

Этап 1.4

Разделим $2 x$ на $1$ .

$lim_{x \to 5} 2 x$

Этап 2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 5} x$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$2 \cdot 5$

Этап 4

Умножим $2$ на $5$ .

$10$